SOAL SBMPTN DAN PEMBAHASAN PERSAMAAN KUADRAT 1

1. Diketahui akar-akar dari persamaan kuadrat (p - 2)x² + 4x + (p + 2) = 0 adalah α dan . Jika α.β² +  β.α² = -20, maka nilai p adalah ....

   A. -3 atau -6⁄5

   B. -3 atau -5⁄6

   C. -3 atau 5⁄6

   D. 3 atau 5⁄6

   E. 3 atau 6⁄5

   
   Pembahasan :
   Soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian akar-akar.
   (p - 2)x² + 4x + (p + 2) = 0
   Dik : a = p -2 ; b = 4; c = p + 2.
   
   Hasil jumlah akar :
   ⇒ α + β = ^-b⁄_a
   

   ⇒ α + β =	-4
   	p - 2

   
   Hasil kali akar :
   ⇒ α.β = ^c⁄_a
   

   ⇒ α.β =	p + 2
   	p - 2

   
   Sekarang modifikasi soal menjadi :
   ⇒ α.β² +  β.α² = -20
   ⇒ α.β (β + α) = -20
   
   Substitusi nilai α.β dan (β + α) yang sudah kita peroleh :
   

   ⇒	p + 2	.	-4	= -20
   	p - 2		p - 2

   ⇒ -4p - 8 = -20 (p - 2)(p - 2)
   ⇒ -4p - 8 = -20 (p² - 4p + 4)
   ⇒ -4p - 8 = -20p² + 80p - 80
   
   Nolkan ruas kanan : 
   ⇒ 20p² - 80p + 80 -4p - 8 = 0
   ⇒ 20p² - 84p + 72 = 0
   ⇒ 5p² - 21p + 18 = 0
   Dik : a = 5; b = -21; c = 18
   
   Untuk mencari nilai p, kita dapat menggunakan rumus abc :
   

   ⇒ p1,2 =	-b ± √D
   	2.a

   ⇒ p1,2 =	21 ± √(-21)2 - 4(5)(18)
   	2.5

   ⇒ p1,2 =	21 ± √441 - 360
   	10

   ⇒ p1,2 =	21 ± √81
   	10

   ⇒ p1 =	21 + 9	= 3
   	10

   ⇒ p2 =	21 ± √81	= 6⁄5
   	10

   Jadi, nilai p adalah 3 atau ⁶⁄₅

   Jawaban : E

   
   
2. Diketahui 4x² - 2mx + 2m - 3 = 0. Agar kedua akarnya real berbeda dan positif, maka nilai m yang memenuhi adalah ....

   m > 0 m > 3⁄2 3⁄2 < m < 2 atau m > 6 m ≥ 6  m < 2 atau m > 6

   
   
   Pembahasan :
   4x² - 2mx + 2m - 3 = 0
   Dik : a = 4; b = -2m; c = 2m - 3.
   
   Syarat agar kedua akar real dan positif adalah :
   

   • Diskriminan lebih besar dari nol
   • Hasil kali akar lebih besar dari nol
   
   Sekarang mari kita tinjau satu-persatu :
   ⇒ D > 0
   ⇒ b² - 4.a.c > 0
   ⇒ 4m² - 4(4)(2m - 3) > 0
   ⇒ 4m² - 32m + 48 > 0
   ⇒ m² - 8m + 12 > 0
   ⇒ (m - 2)(m - 6) > 0
   ⇒ m < 2 atau m > 6 (Lihat dengan garis bilangan)
   
   Selanjutnya tinjau syarat kedua :
   ⇒ x₁.x₂ > 0
   ⇒ ^c⁄_a > 0
   

   ⇒	2m - 3	> 0
   	4

   ⇒ 2m - 3 > 0
   ⇒ m > ³⁄₂
   Jadi, harga m yang memenuhi adalah :
   ³⁄₂ < m < 2 atau m > 6
   

   Jawaban : C
   
   

   

   
   
3. Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan x² - 2x - a = 0 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar persamaan x² - 8x + (a - 1) = 0, maka nilai a sama dengan ....

   A. 2	D. -½
   B. -3	E. 3
   C. -1

   
   Pembahasan :
   Dari persamaan kuadrat pertama :
   x² - 2x - a = 0
   Dik : a = 1; b ; -2; c = -a
    
   Jumlah akar :
   ⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = 2
   
   Hasil kali akar :
   ⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
   ⇒ x₁.x₂ = -a
   Dari persamaan kuadrat kedua :
   x² - 8x + (a - 1) = 0
   Dik : a = 1; b = -8; c = a - 1.
   
   Jumlah akar :
   ⇒ α + β = ^-b⁄_a
   ⇒ α + β = 8
   
   Hasil kali akar :
   ⇒ α.β = ^c⁄_a
   ⇒ α.β = a - 1
   
   Hubungan akar-akar kedua persamaan :
   ⇒ x₁² + x₂² = ¹⁄_α + ¹⁄_β
   

   ⇒ (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 =	α + β
   	α.β

   
   Substitusi nilai-nilai jumlah dan hasil kali akar yang sudah diperoleh sebelumnya :
   

   ⇒ 22 - 2(-a) =	8
   	a - 1

   ⇒ 4 + 2a =	8
   	a - 1

   ⇒ (4 + 2a)(a - 1) = 8
   ⇒ 4a - 4 + 2a² - 2a = 8
   ⇒ 2a² + 2a - 4 = 8
   ⇒ 2a² + 2a - 12 = 0
   ⇒ a² + a - 6 = 0
   ⇒ (a - 2)(a + 3) = 0
   ⇒ a = 2 atau a = -3
   
   Karena pada soal diketahui akar-akar persamaan kuadrat pertama merupakan akar real, maka harus memenuhi syarat berikut :
   ⇒ D > 0
   ⇒ b² - 4.a.c > 0
   ⇒ (-2)² - 4.1.(-a) > 0
   ⇒ 4 + 4a > 0
   ⇒ a > -1
   Karena a harus lebih besar dari -1, maka nilai a = -3 tidak memenuhi syarat. Dengan begitu, nilai a yang memenuhi adalah a = 2.
   

   Jawaban : A

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :