- Aka-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + c = 0 adalah x1 dan x2. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + (x12 + x22)x + 4 = 0 adalah u dan v. Jika u + v = -uv, maka x13.x2 + x1.x23 sama dengan .....
A. -64 D. 32 B. 4 E. 64 C. 16
Pembahasan :
Untuk menjawab soal di atas, langkah yang dapat kita lakukan yaitu :- Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat pertama
- Menentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat kedua
- Menentukan nilai c pada persamaan kuadrat petama
- Menyusun persamaan kuadrat pertama setelah nilai c diperoleh
- Menentukan nilai yang ditanya dalam soal
Langkah Pertama
Dari x2 + 6x + c = 0,
Dik : a = 1 , b = 6, dan c = c.
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b⁄a
⇒ x1 + x2 = -6⁄1
⇒ x1 + x2 = -6
Hasil kali akar :
⇒ x1.x2 = c⁄a
⇒ x1.x2 = c⁄1
⇒ x1.x2 = c
Dari x2 + 6x + c = 0,
Dik : a = 1 , b = 6, dan c = c.
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b⁄a
⇒ x1 + x2 = -6⁄1
⇒ x1 + x2 = -6
Hasil kali akar :
⇒ x1.x2 = c⁄a
⇒ x1.x2 = c⁄1
⇒ x1.x2 = c
Langkah Kedua
Dari x2 + (x12 + x22)x + 4 = 0
Dik : a = 1 , b = (x12 + x22), c = 4.
Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = -(x12 + x22)⁄1
⇒ u + v = -(x12 + x22)
Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = 4⁄1
⇒ u.v = 4
Dari x2 + (x12 + x22)x + 4 = 0
Dik : a = 1 , b = (x12 + x22), c = 4.
Jumlah akar :
⇒ u + v = -b⁄a
⇒ u + v = -(x12 + x22)⁄1
⇒ u + v = -(x12 + x22)
Hasil kali akar :
⇒ u.v = c⁄a
⇒ u.v = 4⁄1
⇒ u.v = 4
Dari soal diketahui bahwa :
⇒ u + v = -uv
Dengan nilai yang kita peroleh di langkah kedua, maka :
⇒ -(x12 + x22) = -4
⇒ x12 + x22 = 4
Karena persamaan sudah dalam bentuk akar-akar persamaan kuadrat pertama, maka manfaatkan nilai jumlah dan hasil kali akar pada langkah pertama. Untuk itu kita perlu menjabarkan persamaan tersebut dan merubahnya sedemikian rupa agar mengandung x1 + x2 dan x1.x2. Untuk teori penjabarannya, kamu bisa baca artikel Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kudarat.
Jika dijabarkan, maka kita peroleh :
⇒ x12 + x22 = 4
⇒ (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 4
⇒ (-6)2 - 2(c) = 4
⇒ 36 - 2c = 4
⇒ -2c = 4 - 36
⇒ -2c = -32
⇒ c = 16
Langkah Keempat
Karena nilai c sudah diperoleh, selanjutnya substitusi nilai tersebut ke persamaan kuadrat pertama yang ada pada soal sehingga bentuknya
⇒ x2 + 6x + c = 0
⇒ x2 + 6x + 16 = 0
Dik a = 1, b = 6, dan c = 16
Dari langkah pertama sudah kita peroleh :
⇒ x1 + x2 = -6 dan x1.x2 = c = 16
Langkah Kelima
Untuk mencari nilai yang ditanya kita harus menjabarkan bentuk tersebut agar mengandung x1 + x2 dan x1.x2, sebagai berikut :
⇒ x13.x2 + x1.x23 = x1.x2(x12 + x22)
⇒ x13.x2 + x1.x23 = 16(4)
⇒ x13.x2 + x1.x23 = 64
Jawaban : E
- Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p -1 = 0 bernilai negatif dan berlainan adalah ....
- p > 2
- p < 0 atau p > 2⁄3
- 0 < p < 2⁄3
- 2⁄3 < p < 1
- 2⁄3 < p < 2
Pembahasan :
Dari (p - 2)x2 + 2px + p -1 = 0
Dik : a = p -2, b = 2p, c = p -1
Syarat agar akar-akar suatu persamaan kuadrat bernilai negatif dan berlainan adalah :- Diskriminan D > 0
- Jumlah akar lebih kecil dari nol
- Hasil kali akar lebih besar dari nol
Syarat Pertama
Agar akar berlainan, nilai diskriminan harus lebih besar dari nol.
⇒ D > 0
⇒ b2 - 4ac > 0
⇒ (2p)2 - 4(p - 2)(p - 1) > 0
⇒ 4p2 - 4(p2 - 3p + 2) > 0
⇒ 4p2 - 4p2 + 12p - 8 > 0
⇒ 12p - 8 > 0
⇒ p > 2⁄3
Agar akar berlainan, nilai diskriminan harus lebih besar dari nol.
⇒ D > 0
⇒ b2 - 4ac > 0
⇒ (2p)2 - 4(p - 2)(p - 1) > 0
⇒ 4p2 - 4(p2 - 3p + 2) > 0
⇒ 4p2 - 4p2 + 12p - 8 > 0
⇒ 12p - 8 > 0
⇒ p > 2⁄3
Syarat Kedua
Jumlah akar persamaan kuadratnya harus lebih kecil dari nol karena negatif tambah negatif hasilnya negatif.
⇒ x1 + x2 < 0
⇒ -b⁄a < 0
⇒ p < 0 atau p > 2
Jumlah akar persamaan kuadratnya harus lebih kecil dari nol karena negatif tambah negatif hasilnya negatif.
⇒ x1 + x2 < 0
⇒ -b⁄a < 0
| ⇒ | -2p | < 0 |
| (p - 2) |
Hasil kali akar-akarnya harus lebih besar dari nol karena negatif dikali negatif hasilnya positif atau lebih besar dari nol.
⇒ x1.x2 > 0
⇒ c⁄a > 0
| ⇒ | p - 1 | > 0 |
| p - 2 |
Gabungan dari syarat pertama, kedua, dan ketiga adalah p > 2.
Jawaban : A
Tidak ada komentar:
Posting Komentar