PEMBAHASAN SOAL SBMPTN TURUNAN DIFFERENSIAL 1

1. Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh :
   s(t) = ⅓t³ - 2t² + 6r + 3
   Satuan jarak s(t) dinyatakan dalam meter dan waktu t dinyatakan dalam sekon.
   Apabila pada saat percepatan menjadi nol, maka kecepatan benda tersebut pada saat itu adalah ....
   

   A. 1 m/s	D. 6 m/s
   B. 2 m/s	E. 8 m/s
   C. 4 m/s

   
   Pembahasan :
   Konsep dasar yang perlu kita ingat ialah :
   

   • Jarak adalah integral dari kecepatan terhadap waktu

     s(t) = ∫ v dt

     
     
   • Kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu

     v(t) = ds dt

     
     
   • Kecepatan adalah integral dari percepatan terhadap waktu

     v(t) = ∫ a dt

     
     
   • Percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu

     a(t) = dv dt

     
     
   • Percepatan adalah turunan kedua dari jarak terhadap waktu

     a(t) = d2s dt2

     
     

   Diketahui persamaan jarak :
   ⇒ s(t) = ⅓t³ - 2t² + 6r + 3
   
   Persamaan kecepatan :
   

   ⇒ v(t) =	ds
   	dt

   ⇒ v(t) =	d (⅓t3 - 2t2 + 6t + 3)
   	dt

   ⇒ v(t) = t² - 4t + 6
   
   Persamaan percepatan :
   

   ⇒ a(t) =	dv
   	dt

   ⇒ a(t) =	d (t2 - 4t + 6)
   	dt

   ⇒ a(t) = 2t - 4
   
   
   Percepatan benda akan bernilai nol pada saat :
   ⇒ 0 = 2t - 4
   ⇒ 2t = 4
   ⇒ t = 2 detik
   
   Karena percepatan bernilai nol pada detik kedua (t = 2), maka kecepatan benda menjadi :
   ⇒ v(t) = t² - 4t + 6
   ⇒ v(t) = 2² - 4.2 + 6
   ⇒ v(t) = 4 - 8 + 6
   ⇒ v(t) = 2 m/s
   

   Jawaban : B
   
   
2. Kurva y = (x² + 2)² memotong sumbu y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik A adalah .....

   y = 8x + 4 y = -8x + 4 y = 4 y = -12x + 4 y = 12x + 4

   
   

   Pembahasan :
   Selain digunakan untuk menentukan persamaan suatu besaran turunan seperti kecepatan dan percepatan, konsep turunan juga dapat diaplikasikan untuk menentukan persamaan garis singgung. Dengan demikian, kita dapat menggunakan konsep turunan untuk menyelesaikan soal di atas.
   
   Titik potong pada sumbu koordinat :
   

   • Memotong sumbu y → berarti x = 0
   • Memotong sumbu x → berarti y = 0

   
   Pada soal, kurva memotong sumbu y pada titik A dengan x = 0 :
   ⇒ y = (x² + 2)²
   ⇒ y = (0² + 2)²
   ⇒ y = 4
   Berarti titik A = (0,4)
   
   Persamaan gradien garis singgung ditentukan dengan konsep turunan :
   

   ⇒ m =	dy
   	dx

   ⇒ m =	d (x2 + 2)2
   	dx

   ⇒ m = 2 (x² + 2). 2x
   ⇒ m = 4x (x² + 2)
   
   Untuk x = 0, maka gradiennya :
   ⇒ m = 4x (x² + 2)
   ⇒ m = 4.0 (0² + 2)
   ⇒ m = 0
   
   Untuk menentukan persamaan garis yang melalui satu titik dan gradien m, dapat kita gunakan rumus berikut :
   

   y − y1 = m (x − x1)

   
   Dengan x₁ dan y₁ titik yang diketahui.
   
   Berdasarkan rumus di atas, maka persamaan garis singgung pada titik (0,4) adalah :
   ⇒ y − y₁ = m (x − x₁)
   ⇒ y − 4 = 0 (x − 0)
   ⇒ y − 4 = 0
   ⇒ y = 4
   

   Jawaban : C
   
   
3. Garis singgung pada kurva x² - y + 2x - 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x - 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan .....
   

   y + 2x + 7 = 0 y + 2x + 3 = 0 y + 2x + 4 = 0 y + 2x - 7 = 0 y + 2x - 3 = 0

   
   Pembahasan :
   Hubungan gradien dua garis yang saling tegak lurus :
   

   m1.m2 = -1

   
   

   Dengan :
   m₁ = gradien garis pertama
   m₂ = gradien garis  kedua
   
   Gradien garis pertama diketahui :
   ⇒ x - 2y + 3 = 0
   ⇒ -2y = -x - 3
   ⇒ 2y = x + 3
   ⇒ y = ½x + ³⁄₂
   

   ⇒ m1 =	dy
   	dx

   ⇒ m1 =	d (½x + 3⁄2)
   	dx

   ⇒ m₁ = ½
   
   Gradien garis kedua :
   ⇒ m₁.m₂ = -1
   ⇒ ½ m₂ = -1
   ⇒ m₂ = -2
   
   Sekarang kita cari dulu persamaan gradien garis kedua (m₂) berdasarkan kurvanya x² - y + 2x - 3 = 0, yaitu :
   ⇒ x² - y + 2x - 3 = 0
   ⇒ y = x² + 2x - 3
   

   ⇒ m2 =	dy
   	dx

   ⇒ m2 =	d (x2 + 2x - 3)
   	dx

   ⇒ m₂ = 2x + 2
   
   Selanjutnya kita harus mencari titik potong kurva terlebih dahulu. Untuk mencari titik potong, subsitusi nilai m₂ ke persamaan gradiennya :
   ⇒ m₂ = 2x + 2
   ⇒ -2 = 2x + 2
   ⇒ -2 - 2 = 2x
   ⇒ 2x = -4
   ⇒ x = -2
   
   Untuk x = -2, kita peroleh :
   ⇒ y = x² + 2x - 3
   ⇒ y = (-2)² + 2(-2) - 3
   ⇒ y = 4 - 4 - 3
   ⇒ y = -3
    Berarti titik potongnya = (-2,-3)
   
   Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah :
   ⇒ y − y₁ = m (x − x₁)
   ⇒ y − (-3) = -2 (x − (-2))
   ⇒ y + 3 = -2 (x + 2)
   ⇒ y + 3 = -2x - 4
   ⇒ y + 2x + 3 + 4 = 0
   ⇒ y + 2x + 7 = 0
   

   Jawaban : A

   
   

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :