Soal dan Pembahasan SBMPTN Pertidaksamaan Harga Mutlak 3

1. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
   |x - 2| ≥ √2x + 20 adalah ....
   

   -∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < 10 -∞ < x ≤ -2 atau 2 ≤ x < ∞ -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞ -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞ -10 < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞

   
   Pembahasan :
   Syarat pertama yang harus kita tinjau adalah syarat dalam akar yaitu untuk √2x + 20. Agar bernilai real dan dapat dinyatakan, maka syarat dalam akar adalah :
   ⇒ 2x + 20 ≥ 0
   ⇒ 2x ≥ -20
   ⇒ x ≥ -10
   
   Selanjutnya kita cari nilai x yang membuat persamaan menjadi bernilai nol.
   Untuk |x - 2| > 0
   ⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
   ⇒ x - 2 ≥ √2x + 20
   ⇒ (x - 2)² ≥2x + 20
   ⇒ x² - 4x + 4 ≥ 2x + 20
   ⇒ x² - 6x - 16 ≥ 0
   ⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0
   ⇒ x = 8 atau x = -2
   
   
   Untuk pertidaksamaan, maka kita gunakan nilai uji dan garis bilangan. Karena nilai x pembuat nol adalah -2 atau 8, maka nilai uji yang dapat kita gunakan antara lain x = -3, x = 0, dan x = 9.

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -3	(-3 - 8)(-3 + 2) = 11	> 0
   x = 0	(0 - 8)(0 + 2) = -16	< 0
   x = 9	(9 - 8)(9 + 2) = 11	> 0

   
   Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (≥), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai lebih dari nol. Dengan demikian penyelesaiannya adalah :
   ⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}
   
   Untuk |x - 2| < 0
   ⇒ |x - 2| ≥ √2x + 20
   ⇒ -(x - 2) ≥ √2x + 20
   ⇒ {-(x - 2)}² ≥2x + 20
   ⇒ x² - 4x + 4 ≥ 2x + 20
   ⇒ x² - 6x - 16 ≥ 0
   ⇒ (x - 8)(x + 2) ≥ 0
   ⇒ x = 8 atau x = -2.
   Karena sama dengan persamaan sebelumnya, maka penyelesaiannya juga sama yaitu :
   ⇒ HP = {x| -∞ < x ≤ -2 atau 8 ≤ x < ∞}
   
   Karena berdasarkan syarat akar, nilai x harus lebih besar dari -10, maka nilai x > -∞ tidak memenuhi karena sudah dibatasi sampai -10 saja. Dengan demikian, nilai-nilai x yang memenuhi penyelesaian dan syarat akar di atas adalah :
   ⇒ -10 < x ≤ 2 atau 8 ≤ x < ∞
   

   Jawaban : D

2. Himpunan penyelesaian |x² - 2| ≤ 1 adalah himpunan nilai x yang memenuhi ....

   -√3 ≤ x ≤ √3 -1 ≤ x ≤ 1 -1 ≤ x ≤ √3 x ≤ -1 atau x ≥ 1 -√3 ≤ x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ √3

   
   Pembahasan :
   Ingat konsep pertidaksamaan mutlak berikut ini :

   |x| ≤ a, maka -a ≤ x ≤ a, a > 0

   
   Berdasarkan konsep tersebut
   ⇒ |x² - 2|  ≤ 1
   ⇒ -1 ≤ x² - 2 ≤ 1
   ⇒ 1 ≤ x² ≤ 3
   ⇒ x = ±1 atau x = ±√3
   
   Selanjutnya untuk menentukan tanda pertidaksamaannya.
   Untuk x = ±1
   Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -2	(-2)2 - 2 = 2	> 0
   x = 0	02 - 2 = -2	< 0
   x = 2	22 - 2 = 2	> 0

   
   Karena pertidaksamaannya lebih besar sama dengan (perhatikan x² - 2 ≥ -1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih besar dari nol. Nilai x = 2 > -1 sedangkan nilai x = -2 < -1. Dengan demikian :
   ⇒ HP = {x| x ≥ 1 atau x ≤ -1} ......(1)
   
   Untuk x = ±√3,
   Kita gunakan nilai uji x = -2, x = 0, x = 2
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -2	(-2)2 - 2 = 2	> 0
   x = 0	02 - 2 = -2	< 0
   x = 2	22 - 2 = 2	> 0

   
   Karena pertidaksamaannya lebih kecil sama dengan (perhatikan x² - 2 ≤ 1), maka yang memenuhi adalah nilai uji yang menghasilkan nilai lebih kecil dari nol. Nilai x = 0 berada di antara -√3 dan √3. Dengan demikian :
   

   ⇒ HP = {x| -√3 ≤ x ≤ √3} ......(2)
   
   Berdasarkan HP (1) dan (2), maka himpunan penyelesaian untuk pertidaksamaan tersebut adalah :

   ⇒ HP = {x| -√3 ≤ x ≤ -1 atau 1 ≤ x ≤ √3}
   

   Jawaban E

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :