Soal SBMPTN dan Pembahasan Deret Geometri Tak hingga 2

1. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama menjadi 2a dan rasio berubah menjadi (2 - r)r, maka jumlahnya menjadi ......

   A. 2S(1 - 1⁄r)

   B. 2S⁄(1-r)

   C. 2S(1⁄r - r)

   D. 2S(1⁄r - 1)

   E. (S-1)⁄r

   
   Pembahasan :
   Sesuai dengan konsep deret geometri, jumlah deret geometri tak hingga dapat dihitung dengan rumus berikut :
   

   S∞ = a 1 − r

   
   Dengan :
   S∞ = jumlah deret geometri tak hingga.
   a = suku pertama deret geometri
   r = rasio deret geometri.
   
   Pada soal diketahui sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a, rasio r, dan jumlah S, maka berlaku :
   

   ⇒ S =	a
   	1 − r

   ⇒ a = S(1 − r)
   
   Pada deret geometri tak hingga yang baru diketahui perubahan sebagai berikut :
   ⇒ a' = 2a
   ⇒ r' = (2 − r)r
   
   Dengan rumus yang sama maka kita peroleh :
   

   ⇒ S' =	a'
   	1 − r'

   ⇒ S' =	2a
   	1 − (2 − r)r

   ⇒ S' =	2.S(1 − r)
   	1 − (2r − r2)

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	1 − 2r + r2

   ⇒ S' =	2S (1 − r)
   	(1 − r)(1 − r)

   ⇒ S' =	2S
   	(1 − r)

   Jawaban : B

2. Diketahui segitiga siku-siku sama kaki pertama dengan panjang sisi siku-siku a. Dibuat segitiga siku-siku sama kaki kedua dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga pertama. Segitiga siku-siku sama kaki ke-3 dan ke-4, dan seterusnya masing-masing dibuat dengan panjang sisi miring sama dengan panjang sisi siku-siku segitiga sebelumnya. Jumlah luas seluruh segitiga tersebut adalah .....

   A. 8a2	D. 2a2
   B. 4a2	E. a2
   C. 3a2

Pembahasan : 
Berdasarkan keterangan dalam soal, maka sketsa untuk segitiga sama kaki terlihat seperti gambar di atas. Jika luas segitiga pertama adalah L, maka luas segitiga kedua adalah ½L, dan luas segitiga ketiga adalah ¼L.

Luas masing-masing segitiga membentuk deret geometri dengan rasio ½. Nilai tersebut kita peroleh dari rumus berikut ini :

⇒ r =	L2	=	L3
	L1		L2

⇒ r =	½L	=	¼L
	L		½L

⇒ r = ½

Luas seluruh segitiga, merupakan jumlah deret geometri tak hingga sehingga dapat kita hitung dengan rumus yang sama seperti pada soal nomor 1, sebagai berikut :

⇒ S =	a
	1 - r

⇒ S =	L
	1 - ½

⇒ S =	L
	½

⇒ S = 2L

Seperti yang kita ketahui, luas segitiga merupakan setengah alas dikali tingginya. Karena segitiga pada soal merupakan segitiga siku-siku sama kaki maka panjang alas dan tingginya sama yaitu a. Sehingga kita peroleh :
⇒ S = 2L
⇒ S = 2 (½.a.a)
⇒ S = 2a²

Jawaban : E

3. Diketahui sebuah segitiga OP₁P₂ dengan sudut siku-siku pada P₂ dan sudut puncak 30^o pada O. Dengan OP₂ sebagai sisi miring dibuat pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan sudut puncak P₂OP₃ sbesar 30^o. Selanjutnya dibuat pula segitiga siku-siku OP₂P₃ dengan OP₃ sebagai sisi miring dan sudut puncak P₃OP₄ sebesar 30^o. Proses ini dilanjutkan terus-menerus. Jika OP₁ = 16, maka jumlah luas seluruh segitiga adalah ....

   A. 64√3	D. 256
   B. 128	E. 256√3
   C. 128√3

Pembahasan :
Berdasarkan uraian dalam soal, maka segitiga-segitiga tersebut kurang lebih seperti gambar di atas. Karena proses berlanjut terus menerus dengan pola yang sama, maka luas segitiga tersebut membentuk deret geometri tak hingga.

Untuk mengetahui luas segitiga seluruhnya, maka kita harus mengetahui luas segitiga pertama dan rasionya. Karena OP₁ = 16, maka panjang sisi P₁P₂ dapat dihitung dengan menggunakan konsep trigonometri, sebagai berikut :

⇒ sin 30o =	P1P2
	OP1

⇒ P₁P₂ = OP₁ sin 30^o
⇒ P₁P₂ = 16. ½
⇒ P₁P₂ = 8

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP₂ sebagai berikut :

⇒ cos 30o =	OP2
	OP1

⇒ OP₂ = OP₁ cos 30^o
⇒ OP₂ = 16. ½√3
⇒ OP₂ = 8√3

Dengan demikian luas segitiga pertama adalah :
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½. P₁P₂. OP₂
⇒ L Δ OP₁P₂ = ½ (8) (8√3)
⇒ L Δ OP₁P₂ = 32√3

Segitiga kedua adalah Δ OP₂P₃. Untuk mengetahui luasnya, kita harus mencari alas dan tingginya terlebih dahulu dengan konsep trigonometri.

⇒ sin 30o =	P2P3
	OP2

⇒ P₂P₃ = OP₂ sin 30^o
⇒ P₂P₃ = 8√3. ½
⇒ P₂P₃ = 4√3

Selanjutnya dengan cara yang sama kita dapat menentukan panjang sisi OP₃ sebagai berikut :

⇒ cos 30o =	OP3
	OP2

⇒ OP₃ = OP₂ cos 30^o
⇒ OP₃ = 8√3. ½√3
⇒ OP₃ = 12

Dengan demikian, luas segitiga kedua adalah :
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½.a.t
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½. P₂P₃. OP₃
⇒ L Δ OP₂P₃ = ½ (4√3) (12)
⇒ L Δ OP₂P₃ = 24√3

Selanjutnya kita dapat menentukan rasio deret geometrinya :

⇒ r =	L Δ OP2P3
	L Δ OP1P2

⇒ r =	24√3
	32√3

⇒ r = ¾

Karena suku pertama dan rasionya sudah kita peroleh, maka jumlah luas segitiga dapat kita tentukan dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga sebagai berikut :

⇒ L∞ =	L Δ OP1P2
	1 - r

⇒ L∞ =	32√3
	1 - ¾

⇒ L∞ =	32√3
	¼

⇒ L∞ = 128√3

Jawaban : C

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :