Soal SBMPTN dan Jawaban Pertidaksamaan Trigonometri 1

1. Jika 0 ≤ x ≤ π, maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos x - sin 2x < 0 adalah ....

   {x| π⁄6 < x < π⁄2} {x| π⁄4 < x < π⁄3} {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π} {x| π⁄6 < x < π⁄3}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π} {x| π⁄6 < x < π⁄2}∪{x| 5π⁄6 < x ≤ π}

   
   Pembahasan :
   Untuk menjawab soal di atas, maka kita perlu mengingat kembali rumus dasar atau identitas trigonometri berikut ini :
   

   sin 2x = 2 sin x. cos x

   
   Berdasarkan rumus di atas, maka bentuk pertidaksamaan di soal dapat disederhanakan menjadi :
   ⇒ cos x - sin 2x < 0
   ⇒ cos x - (2 sin x. cos x) < 0
   ⇒ cos x (1 - 2 sin x) < 0
   
   Sekarang kita lihat dulu penyelesaian untuk persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 untuk mendapatkan x yang menghasilkan nilai nol. Setelah kita peroleh x pembuat nol, maka kita bisa memeriksa tanda pertidaksamaannya.
   
   Persamaan cos x (1 - 2 sin x) = 0 bisa bernilai nol jika salah satu faktor pengalinya bernilai nol. Jadi persamaan itu akan bernilai nol jika cos x = 0 atau (1 - 2 sin x) = 0.
   
   Untuk cos x = 0
   ⇒ cos x = 0
   ⇒ x = 90^o atau x = 270^o
   Karena 0 ≤ x ≤ π, maka 270^o tidak memenuhi, sehingga :
   ⇒ x = 90^o 
   ⇒ x = ^π⁄₂
   
   Untuk (1 - 2 sin x) = 0
   ⇒ 1 - 2 sin x = 0
   ⇒ 2 sin x = 1
   ⇒ sin x = ½
   ⇒ x = 90^o atau x = 150^o
   Karena 0 ≤ x ≤ π, maka kedua nilai tersebut memenuhi, sehingga :
   ⇒ x = 90^o atau x = 150^o
   ⇒ x = ^π⁄₆ atau x = ^5π⁄₆
   
   Untuk pertidaksamaannya, kita dapat menggunakan garis bilangan dan nilai uji. Karena nilai x pembuat nol adalah ^π⁄₂,  ^π⁄₆, dan ^5π⁄₆, maka kita bisa gunakan nilai uji x = 0, x = ^π⁄₃, x = ^2π⁄₃, dan x = π.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = 0	cos 0 (1 - 2 sin 0) = 1	> 0
   x = π⁄3	cos π⁄3 (1 - 2 sin π⁄3) = -0,36	< 0
   x = 2π⁄3	cos 2π⁄3 (1 - 2 sin 2π⁄3) = 0,36	> 0
   x = π	cos π (1 - 2 sin π) = 0	= 0

   
   Karena pertidaksamaannya adalah kurang dari (perhatikan cos x (1 - 2 sin x) < 0), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang menghasilkan nilai kurang dari nol. Berdasarkan tabel di atas, maka HP-nya berada di antara ^π⁄₆ dan ^π⁄₂ atau ^5π⁄₆ dan π. Secara matematis dapat ditulis sebagai :
   ⇒ HP = {x| ^π⁄₆ < x < ^π⁄₂}∪{x| ^5π⁄₆ < x ≤ π}
   

   Jawaban : E

2. Untuk 0 ≤ x ≤ 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan cos ^πx⁄₆ ≥ ½ adalah ....

   0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 9 0 ≤ x ≤ 3 atau 6 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 4 atau 8 ≤ x ≤ 10 1 ≤ x ≤ 3 atau 9 ≤ x ≤ 11 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12

   
   Pembahasan :
   Dik : 0 ≤ x ≤ 12
   
   Kita tentukan dulu nilai x pembuat nol.
   ⇒ cos ^πx⁄₆ = ½
   ⇒ cos ^πx⁄₆ = cos ^π⁄₃
   ⇒ ^πx⁄₆ = ^π⁄₃
   ⇒ ^π⁄₆ x = ^2π⁄₆
   ⇒ x = 2
   
   Nilai x lainnya :
   ⇒ cos ^πx⁄₆ = ½
   ⇒ cos ^πx⁄₆ = cos ^10π⁄₆
   ⇒ ^πx⁄₆ = ^10π⁄₆
   ⇒ ^π⁄₆ x = ^10π⁄₆
   ⇒ x = 10
   
   Untuk menentukan HP pertidaksamaannya, kita gunakan nilai uji x = 0, x = 4, dan x = 12 dan substitusi ke cos ^πx⁄₆.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = 0	cos 0 = 1	> 0
   x = 4	cos 4π⁄6 = -0,5	< 0
   x = 12	cos 12π⁄6 = 1	> 0

   
   Karena pertidaksamaannya lebih dari sama dengan (perhatikan cos ^πx⁄₆ ≥ ½), maka nilai uji yang memenuhi adalah yang hasilnya lebih besar dari nol. Dengan demikian :
   ⇒ HP = {x| 0 ≤ x ≤ 2 atau 10 ≤ x ≤ 12}
   

   Jawaban : E

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :