Pembahasan Soal SBMPTN Persamaan Kuadrat 2

1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0, maka nilai n adalah ....

   A. 8	D. -8
   B. 6	E. -10
   C. -2

   
   Pembahasan :
   Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x² - 3x + n = 0 adalah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x² + x - n = 0 adalah u dan v. 
   
   Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika dapat kita tulis sebagai berikut :
   ⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
   ⇒ p² + q² = u³ + v³
   
   Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!

Persamaan kuadrat  pertama 
x² - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = ^-b⁄_a
⇒ p + q = ³⁄₁
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ^c⁄_a
⇒ p.q = ⁿ⁄₁
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p² + q² = (p + q)² - 2p.q
⇒ p² + q² = (3)² - 2(n)
⇒ p² + q² = 9 - 2n .......(1)

Persamaan kuadrat kedua
x² + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = ^-b⁄_a
⇒ u + v = ^-1⁄₁
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ^c⁄_a
⇒ u.v = ^-n⁄₁
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u³ + v³ = (u + v)³ - 3u.v (u + v)
⇒ u³ + v³ = (-1)³ - 3(-n) (-1)
⇒ u³ + v³ = -1 - 3n .... (2)

Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p² + q² = u³ + v³
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n adalah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n berdasarkan prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menjelaskan pembahasan soal sedetail mungkin agar mudah dipahami. Jika penjabaran rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, kamu bisa membaca postingan tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk penjabaran lebih rinci

Jawaban : E

2. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :

   x2 + x =	2
   	x2 + x + 1

   maka nilai α.β adalah ......
   

   2 atau -1 -2 atau 1 -2 atau -1 -2 -1

   
   Pembahasan : 
   Kita misalkan x² + x = p, sehingga persamaannya menjadi :
   

   ⇒ p =	2
   	p + 1

   ⇒ p(p + 1) = 2
   ⇒ p² + p - 2 = 0
   ⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
   ⇒ p = -2 atau p = 1
   
   Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
   Untuk p = -2
   ⇒ x² + x = p
   ⇒ x² + x = -2
   ⇒ x² + x + 2 = 0
   
   Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
   ⇒ D = b² - 4ac
   ⇒ D = 1² - 4(1)(2)
   ⇒ D = 1 - 8
   ⇒ D = -7 < 0
   
   Ingat bahwa syarat agar akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, kamu bisa baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.
   
   Untuk p = 1
   ⇒ x² + x = p
   ⇒ x² + x = 1
   ⇒ x² + x - 1 = 0
   
   Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
   ⇒ D = b² - 4ac
   ⇒ D = 1² - 4(1)(-1)
   ⇒ D = 1 + 4
   ⇒ D = 5 > 0
   Karena D > 0, maka akarnya real.
   
   Dengan demikian, persamaan yang memenuhi adalah x² + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
   ⇒ α.β = ^c⁄_a
   ⇒ α.β = ^-1⁄₁ 
   ⇒ α.β = -1
   

   Jawaban : E

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :