Pembahasan Soal SBMPTN Barisan dan Deret Geometri 1

1. Tiga bilangan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika suku pertama dikurangi 2 dan suku ketiga ditambah 6, maka barisan tersebut menjadi barisan geometri dengan rasio 2. Hasil kali ketiga bilangan pada barisan geometri tersebut adalah .....

   128 240 256 480 512

   
   Pembahasan :
   Misalkan tiga bilangan suku deret aritmatika adalah x + y + z. Karena barisan geometri terbentuk dari deret tersebut, maka kita harus mencari nilai x, y, dan z terlebih dahulu.
   
   Suku barisan geometri yang terbentuk dari deret aritmatika tersebut adalah :
   ⇒ Suku pertama, u₁ = x - 2
   ⇒ Suku kedua ,  u₂ = y
   ⇒ Suku ketiga, u₃ = z + 6
   ⇒ Rasio, r = 2
   
   Berdasarkan data di atas, maka berlaku :
   

   ⇒ r =	u2
   	u1

   ⇒ 2 =	y
   	x - 2

   ⇒ 2(x - 2) = y
   ⇒ 2x - 4 = y
   ⇒ 2x = y + 4
   ⇒ x = ½y + 2 ....... (1)
   
   Dengan cara yang sama, berdasarkan rumus rasio :
   

   ⇒ r =	u3
   	u2

   ⇒ 2 =	z + 6
   	y

   ⇒ 2y = z + 6
   ⇒ z = 2y - 6 ....... (2)
   
   Karena ada tiga variabel x, y, dan z, maka kita perlu persamaan ketiga. Persamaan tersebut dapat kita peroleh berdasarkan data deret aritmatika yang kita misalkan di atas sebelumnya. Berdasarkan rumus beda barisan aritmatika, maka berlaku :
   ⇒ b = selisih 2 suku terdekat
   ⇒ y - x = z - y
   ⇒ 2y = z + x ....... (3)
   
   Substitusi persaman (1) dan (2) ke persamaan (3) :
   ⇒ 2y = z + x
   ⇒ 2y = (2y - 6) + (½y + 2)
   ⇒ 2y = 2,5y - 4
   ⇒ -0,5y = -4
   ⇒ y = 8
   
   Substitusi y = 8 ke persamaan (1) :
   ⇒ x = ½y + 2
   ⇒ x = ½(8) + 2
   ⇒ x = 6
   
   Substitusi y = 8 ke persamaan (2)
   ⇒ z = 2y - 6
   ⇒ z = 2(8) - 6
   ⇒ z = 10
   
   Dengan demikian kita peroleh suku baris geometri sebagai berikut :
   ⇒ u₁ = x - 2 = 6 - 2 = 4
   ⇒ u₂ = y = 8
   ⇒ u₃ = z + 6 = 10 + 6 = 16
   
   Hasil kali ketiga suku :
   ⇒ u₁. u₂. u₂ = 4 (8) (16)
   ⇒ u₁. u₂. u₂ = 512
   

   Jawaban : E

2. Jumlah suatu deret geometri tak hingga dengan suku pertama a dan rasio r dengan 0 < r < 1 adalah S. Jika suku pertama tetap dan rasio berubah menjadi 1 - r, maka jumlah deretnya menjadi ....

   S(1 - 1⁄r) S⁄r S(1⁄r - r) S⁄(1-r) S(1⁄r - 1)

Pembahasan : 
Dari deret geometri yang pertama :

⇒ S =	a
	1 - r

⇒ a = S(1 - r)
Jumlah deret geometri yang baru :

⇒ S =	a	=	S(1 - r)
	1 - r		1 - (1 - r)

⇒ S =	S(1 - r)	= S(1⁄r - 1)
	r

Jawaban : E

3. Diketahui x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan x² + 5x + a = 0 dengan x₁ dan x₂ tidak sama dengan nol. Jika x₁, 2x₂, dan -3x₁.x₂ masing-masing merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan ....

   A. -6	D. -6 atau 6
   B. 2	E. 2 atau 3
   C. 6

   
   Pembahasan :
   Dari persamaan kuadrat diperoleh a = 1, b = 5, dan c = a.
   
   Berdasarkan jumlah akar :
   ⇒ x₁ + x₂ = ^-b⁄_a
   ⇒ x₁ + x₂ = ^-5⁄₁
   ⇒ x₁ + x₂ = -5
   ⇒ x₂ = -5 - x₁ ....... (1)
   
   Berdasarkan hasil kali akar :
   ⇒ x₁.x₂ = ^c⁄_a
   ⇒ x₁.x₂ = ^a⁄₁
   ⇒ x₁.x₂ = a ....... (2)
   
   Dari soal diketahui deret geometri : x₁, + 2x₂ + -3x₁.x₂. Berdasarkan rumus rasio, maka berlaku :
   

   ⇒ y =	u2	=	u3
   	u1		u2

   ⇒	2x2	=	-3x1.x2
   	x1		2x2

   ⇒	2x2	=	-3x1
   	x1		2

   ⇒ 4x₂ = -3x₁² ....... (3)
   
   Substitusi persamaan (1) ke persamaan (3) :
   ⇒ 4x₂ = -3x₁²
   ⇒ 4(-5 - x₁) = -3x₁²
   ⇒ -20 - 4x₁ = -3x₁²
   ⇒ -3x₁² - 4x₁ - 20 = 0
   ⇒ (3x₁ - 10)(x₁ + 2) = 0
   ⇒ x₁ = ¹⁰⁄₃  atau x₁ = -2
   
   Untuk x₁ = ¹⁰⁄₃ 
   ⇒ x₂ = -5 - x₁
   ⇒ x₂ = -5 - ¹⁰⁄₃ 
   ⇒ x₂ = ^-25⁄₃ 
   Karena suku pertama positif dan suku kedua negatif, maka rasionya negatif sehingga nilai x₁ = ¹⁰⁄₃ tidak memenuhi.
   
   Untuk x₁ = -2
   ⇒ x₂ = -5 - x₁
   ⇒ x₂ = -5 - (-2)
   ⇒ x₂ = -3
   Suku pertama dan suku kedua sama-sama negatif, maka rasionya bernilai positif. Dengan demikian nilai tersebut berlaku.
   
   Berdasarkan persmaan (2), maka kita peroleh :
   ⇒ a = x₁.x₂
   ⇒ a = (-2) (-3)
   ⇒ a = 6
   

   Jawaban : C

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :