PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN DAN DERET ARITMATIKA 1

1. Diketahui u₁, u₂, u₃, .... adalah barisan aritmatika dengan suku-suku positif. Jika u₁ + u₂ + u₃ = 24 dan u₁² = u₃ - 10, maka nilai u₄ sama dengan ....

   A. 16

   B. 20

   C. 24

   D. 30

   E. 32

   
   Pembahasan :
   Dari soal diperoleh :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 24
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 24
   ⇒ 3a + 3b = 24
   ⇒ a + b = 8
   ⇒ a = 8 - b
   
   
   Substitusi nilai a ke persamaan berikutnya :
   ⇒ u₁² = u₃ - 10
   ⇒ a² = (a + 2b) - 10
   ⇒ (8 - b)² = (a + 2b) - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ 64 - 16b + b² = 8 - b + 2b - 10
   ⇒ b² - 16 b + 64 = b - 2
   ⇒ b² - 17 b + 66 = 0
   ⇒ (b - 11)(b - 6) = 0
   ⇒ b = 11 atau b = 6
   
   Karena beda barisan ada dua pilihan, maka harus kita lihat nilai mana yang memenuhi syarat sehingga kita peroleh nilai suku awal sebagai berikut :
   Untuk b = 11
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 - 11
   ⇒ a = -3
   Karena suku-suku barisannya positif, maka nilai b = 11 tidak memenuhi karena suku awalnya bernilai negatif yaitu -3.
   
   Untuk b = 6
   ⇒ a = 8 - b
   ⇒ a = 8 -6
   ⇒ a = 2
   Dengan begitu, suku awalnya u₁ = a = 2.
   
   Karena suku awal dan beda sudah diperoleh, maka suku ke-4 dapat ditentukan.
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = 2 + 3(6)
   ⇒ u₄ = 2 + 18
   ⇒ u₄ = 20
   

   Jawaban : B
   
   

   

   
   
2. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulannya dengan jumlah yang sama besar. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah, dan keuntungan sampai bulan kedelapan 172 ribu rupiah, maka keuntungan pedagang tersebut sampai bulan ke-18 adalah ....

   1017 ribu rupiah 1050 ribu rupiah 1100 ribu rupiah 1120 ribu rupiah 1137 ribu rupiah

   
   Pembahasan :
   Karena keuntungan bertambah dengan jumlah yang sama, maka soal di atas termasuk barisan aritmatika dengan pertambahan keuntungan sebagai beda-nya (b) dan keuntungan di bulan pertama sebagai suku awalnya (a). Keuntungan pada bulan ke-n merupakan jumlah suku ke-n (S_n) dari barisan tersebut.
   
   Bulan ke-4 :
   ⇒ S₄ = 30.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 30.000
   ⇒ ⁴⁄₂ {2a + (4 - 1)b} = 30.000
   ⇒ 2 (2a + 3b) = 30.000
   ⇒ 2a + 3b = 15.000
   ⇒ 2a = 15.000 - 3b ....(1)
   
   Bulan ke-8 :
   ⇒ S₈ = 172.000
   ⇒ ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b} = 172.000
   ⇒ ⁸⁄₂ {2a + (8 - 1)b} = 172.000
   ⇒ 4 (2a + 7b) = 172.000
   ⇒ 2a + 7b = 43.000 .....(2)
   
   Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 - 3b + 7b = 43.000
   ⇒ 15.000 + 4b = 43.000
   ⇒ 4b = 28.000
   ⇒ b = 7.000
   
   Dengan demikian diperoleh suku awal :
   ⇒ 2a + 7b = 43.000
   ⇒ 2a + 7(7.000) = 43.000
   ⇒ 2a + 49.000 = 43.000
   ⇒ 2a = -6.000
   ⇒ a = -3000
   
   Keuntungan pedagang sampai bulan ke-18 adalah :
   ⇒ S₁₈ =  ⁿ⁄₂ {2a + (n - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = ¹⁸⁄₂ {2a + (18 - 1)b}
   ⇒ S₁₈ = 9 (2a + 17b)
   ⇒ S₁₈ = 9 {2(-3000) + 17(7000)}
   ⇒ S₁₈ = 9 (-6000 + 119.000)
   ⇒ S₁₈ = 9 (113.000)
   ⇒ S₁₈ = 1.017.000
   Jadi, keuntungannya adalah 1.017 ribu.
   

   Jawaban : A
   
   
3. Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol dan kuadrat bilangan pertama sama dengan -⅔ kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka bilangan keempat adalah ....

   A. -4⁄3	D. 4⁄9
   B. -2⁄3	E. 4⁄3
   C. -4⁄9

   
   Pembahasan :
   Misalkan keempat bilangan tersebut adalah u₁, u₂, u₃, dan u₄. Karena selisih dua bilangan yang berdekatan sama, berarti keempat bilangan tersebut membentuk barisan aritmatika.
   
   Jumlah tiga bilangan pertama :
   ⇒ u₁ + u₂ + u₃ = 0
   ⇒ a + (a + b) + (a + 2b) = 0
   ⇒ 3a + 3b = 0
   ⇒ 3a = -3b
   ⇒ a = -b
   
   Hubungan bilangan pertama dan ketiga :
   ⇒ u₁² = ^-2⁄₃ u₃
   ⇒ a² =  ^-2⁄₃ (a + 2b)
   ⇒ (-b)² =  ^-2⁄₃ (-b + 2b)
   ⇒ b² =  ^-2⁄₃ b
   ⇒ b = ^-2⁄₃ 
   
   Selanjutnya, diperoleh bilangan pertamanya :
   ⇒ a = -b
   ⇒ a = ²⁄₃  
   
   Dengan demikian, bilangan keempat adalah :
   ⇒ u₄ = a + 3b
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ + 3(^-2⁄₃)
   ⇒ u₄ = ²⁄₃ - ⁶⁄₃
   ⇒ u₄ = ^-4⁄₃
   Jawaban : A

Share on: Facebook Twitter Google+ Linkedin Technorati Digg LintasMe

Related Articles :